Question

Сумма второго и пятого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 16, а произведе-ние второго члена на четвертый равно 45. Найдите сумму первых десяти членов этой прогрессии.

Answer 1

Запишем условие и будем решать:

$a_2+a_5 = 16 \\ \\ a_2*a_4 = 45 \\ \\ \\ a_1+d + a_1 + 4d = 2a_1 +5d = 16 \\ \\ (a_1+d)*(a_1+3d) = 45 \\ \\ \\ a_1=8-2,5d \\ \\ (8-2,5d+d)*(8-2,5d+3d) = (8-1,5d)*(8-0,5d) = 45 \\ \\ 64 + 4d -12d +0,75d^2 = 45 \\ \\ 0,75d^2 + 8d -19 = 0 \\ \\ 3d^2 +32d -76 = 0 \\ \\ d_{1,2} = \frac{-16 \pm \sqrt{16^2-3*(-76)} }{3} = \frac{-16 \pm 22}{3}$

Т.к. прогрессия возрастающая, то подходит только положительный корень d = 2. Находим первый член и сумму 10 первых членов:

$a_1=8-2,5d = 8 - 2,5*2 = 3 \\ \\ S_{10} = \frac{2*3+2(10-1)}{2} * 10 = 120$

Ответ: 120