Question

Найдите трехзначное положительное число, если его цифры образуют геометрическую прогрессию со знаменателем, отличным от единицы, а цифры числа, меньшего на 200, образуют арифметическую прогрессию

Answer 1

Пусть цифры x, y, z составляют искомое число 100x + 10y + z.
Пусть также цифры x, y, z образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q, т.е. y = x*q, z = x*q².
Когда из искомого числа вычли 200, то цифры y и z остались без изменения на своих местах, а первая цифра x уменьшилась на 2. Значит, арифметическую прогрессиию составляют цифры: x - 2, y, z. Пусть d - шаг арифметической прогрессии. Тогда:
первый член арифметической прогрессии (х-2), второй - (х - 2 + d), третий - (x - 2 + 2d).
Т.к. последние две цифры числа не изменились при вычитании 200, то можем приравнять:
x*q = x + d - 2
x*q² = x + 2d - 2
Используем характеристическое свойство геометрической прогрессии:
$b_1 * b_3 = b_2 ^2 \\ \\ x * (x*q^2) = (x*q)^2 \\ \\ x * (x + 2d - 2) = (x + d - 2 )^2 \\ \\ x^2 + 2x(d -1) = x^2 +2x(d-2) +( d - 2 )^2 \\ \\ 2x(d -1) = 2x(d-1) -2x +( d - 2 )^2 \\ \\ 2x = ( d - 2 )^2 \\ \\ d-2 = \pm \sqrt{2x}$

Т.к. шаг d д.б целым (цифры же целые), выражение под корнем 2x д.б. квадратом. Это возможно только при двух значения х = 2 и х = 8. Однако первая цифра числа не м.б. равна 2, т.к. при вычитании 200 получится двузначное число. Остаётся, х = 8.

$d-2 = \pm \sqrt{2*8}= \pm 4 \\ \\ d_1 = 6 \:\:\:\: d_2 = -2$

Первый шаг d = 6 не подходит, т.к. при таком шаге мы выйдем из множества цифр. Остаётся, d = -2.
Для нахождения q и х используем систему уравнений, куда подставим найденное значение d = -2:

$\left \{ {{x*q=x + d - 2} \atop {x*q^2=x + 2d - 2}} \right. \\ \\ \left \{ {{x*q=x - 4} \atop {x*q^2=x - 6}} \right. \\ \\ \left \{ {{x*(1-q)= 4} \atop {x*(1-q^2)= 6}} \right. \\ \\ \frac{x*(1-q^2)}{x*(1-q)} = \frac{6}{4} \:\:\:\:\:\: \frac{x*(1-q)*(1+q)}{x*(1-q)} = \frac{6}{4} \\ \\ 1+q = \frac{3}{2} \:\:\:\:\:\: q= \frac{1}{2} \\ \\ x*(1-\frac{1}{2})= 4 \:\:\:\:\:\: x = 8$

Итак, найдена первая цифра числа 8 и знаменатель прогрессии 1/2. Значит, следующие цифры 4 и 2, а все число 842.
Проверяем.
Вычтем 200: 842 - 200 = 642.
Как видим, последовательность 6, 4, 2 образует арифметическую прогрессию с шагом минус 2.

Ответ: 842