Question

. Цены на два вида товаров равны соответственно 32 и 24 ден. ед. Определить, при каких количествах х и у продаж этих товаров прибыль будет максимальной, если функция издержек имеет вид С=3/2х+^2+2ху+у^2

Answer 1

Прибыль есть разница между доходами и издержек. Составим функцию прибыли, найдем точку ее максимума и значение функции в этой точке

$F(x,y)=32x+24y-1.5x^2-2xy-y^2 \\\\ \left \{ {{F'_x=32-3x-2y} \atop {F'_y=24-2x-2y}} \right. \\\\ \left \{ {{3x+2y=32} \atop {2x+2y=24}} \right. \\\\ \left \{ {{x=8} \atop {2x+2y=24}} \right. \\\\ \left \{ {{x=8} \atop {16+2y=24}} \right. \\\\ \left \{ {{x=8} \atop {2y=8} \right. \\\\ \left \{ {{x=8} \atop {y=4} \right.$

Найдем гессиан функции, если его главные миноры знакопеременные, начиная с минуса

$H= \left[\begin{array}{cc}-3&-2\\-2&-2\end{array}\right] \\ H_1=-3 \\ H_2=-3*(-2)-(-2)*(-2)=6-4=2$

Точка (8,4) является точкой максимума, найдем значение функции в точке.

$F(8,4)=32*8+24*4-1.5*8^2-2*8*4-4^2=\\=256+96-96-64-16=176$

Макс. прибыль = 176 д. е.