Question

Помогите решить интегралы 1538 и 1540 (ответы есть).

Answer 1

1538
$\int\limits { \dfrac{dx}{ 1+\sin x }$
Замена:
$\mathrm{tg} \frac{x}{2} =t \\\ \Rightarrow \frac{x}{2}=\mathrm{arctg}t \\\ \Rightarrow x=2\mathrm{arctg}t \\\ \Rightarrow dx= \dfrac{2dt}{1+t^2}$
Выражение для синуса:
$\sin x= \dfrac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} }{\cos^2 \frac{x}{2}+\sin^2 \frac{x}{2}} =\dfrac{2\mathrm{tg} \frac{x}{2} }{1+\mathrm{tg}^2 \frac{x}{2}}=\dfrac{2t}{1+t^2}$
$\int\limits { \dfrac{\dfrac{2dt}{1+t^2}}{ 1+\dfrac{2t}{1+t^2} }= \int\limits { \dfrac{\dfrac{2dt}{1+t^2}}{ \dfrac{1+t^2+2t}{1+t^2} }= \int\limits { \dfrac{2dt}{1+t^2+2t }= \int\limits { \dfrac{2dt}{(t+1)^2 }=$
$=-\dfrac{2}{t+1} +C=-\dfrac{2}{\mathrm{tg} \frac{x}{2}+1} +C$

1540
$\int\limits { \dfrac{dx}{ \dfrac{\sin^2x}{a^2}+ \dfrac{\cos^2x}{b^2} } }$
Замена:
$\mathrm{tg}x=t \\\ \Rightarrow x=\mathrm{arctg}t \\\ \Rightarrow dx= \dfrac{dt}{1+t^2}$
Выражения для синуса и косинуса в четных степенях:
$\sin^2x= \dfrac{\sin^2x}{1} = \dfrac{\sin^2x}{\sin^2x+cos^2x} = \dfrac{\mathrm{tg}^2x}{1+\mathrm{tg}^2x} = \dfrac{t^2}{1+t^2} \\\ \cos^2x= \dfrac{\cos^2x}{1} = \dfrac{\cos^2x}{\sin^2x+cos^2x} = \dfrac{1}{1+\mathrm{tg}^2x} = \dfrac{1}{1+t^2}$
$\int\limits { \dfrac{dx}{ \dfrac{\sin^2x}{a^2}+ \dfrac{\cos^2x}{b^2} } } = \int\limits { \dfrac{\dfrac{dt}{t^2+1}}{ \dfrac{ t^2 }{a^2(1+t^2)}+ \dfrac{1}{b^2(1+t^2)} } } = \\\ =\int\limits { \dfrac{dt}{ \dfrac{ t^2 }{a^2}+ \dfrac{1}{b^2} } } = \int\limits { \dfrac{1}{ \dfrac{ b^2t^2+a^2 }{a^2b^2} } }dt= \int\limits { \dfrac{a^2b^2}{ b^2t^2+a^2 } }dt=$
$=\int\limits { \dfrac{a^2}{ t^2+ \dfrac{a^2}{b^2} } }dt= a^2\int\limits { \dfrac{1}{ t^2+ \dfrac{a^2}{b^2} } }dt= a^2\cdot \dfrac{b}{a}\ \mathrm{arctg}\left( \dfrac{b}{a}t\right)+C= \\\ =ab\ \mathrm{arctg}\left( \dfrac{b}{a}\mathrm{tg}x\right)+C$