Question

решите пожалуйста и 1 и 2 очень надо пожалуйста. Дам 40 баллов

Answer 1

1. Сначала представим уравнение в стандартном виде:

$\frac{x}{x-2} - \frac{7}{x+2} = \frac{8}{ x^{2} -4} \\ \\ \frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{7(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{8}{ (x-2)(x+2)} \\ \\ \frac{x^2+2x}{(x-2)(x+2)} - \frac{7x-14}{(x-2)(x+2)} - \frac{8}{ (x-2)(x+2)} =0 \\ \\ \frac{x^2+2x-7x+14-8}{ (x-2)(x+2)} =0 \\ \\ \frac{x^2-5x+6}{ (x-2)(x+2)} =0$

Затем используем условие равенства дроби нулю: дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Приравняем нулю числитель:

$x^2-5x+6=0$   

и решим уравнение, воспользовавшись, к примеру, теоремой Виета (сумма корней равна 5, а их произведение равно 6 - это числа 2 и 3).

Подставим эти корни в знаменатель. При х = 3 знаменатель не равен нулю (значит, этот корень нам подходит), а при х = 2 знаменатель равен нулю, чего быть не должно, т.е. этот корень нам не подходит (не входит в область допустимых значений х).

Следовательно, наше уравнение имеет один-единственный корень
х = 3.

2. Сначала произведем некоторые тождественные преобразования данного уравнения:

$\frac{1}{x+6} + \frac{7}{x-3} = \frac{5}{x-6} \\ \\ \frac{7}{x-3} = \frac{5}{x-6} - \frac{1}{x+6} \\ \\ \frac{7}{x-3} = \frac{5(x+6)}{(x-6)(x+6)} - \frac{x-6}{(x-6)(x+6)} \\ \\ \frac{7}{x-3} = \frac{5x+30-x+6}{x^2-36} \\ \\ \frac{7}{x-3} = \frac{4x+36}{x^2-36}$

Затем перейдем к уравнению-следствию, воспользовавшись основным свойством пропорции:

$7(x^2-36)=(x-3)(4x+36) \\ 7x^2-252=4x^2+24x-108 \\ 3x^2-24x-144=0 \\ x^2-8x-48=0$

По теореме Виета найдем корни уравнения-следствия:
х₁ = 12;  х₂ = – 4
и произведем проверку корней:
 
$\frac{1}{12+6} + \frac{7}{12-3} = \frac{5}{12-6} \\ \\ \frac{1}{18} + \frac{7}{9} = \frac{5}{6} \\ \\ \frac{1}{18} + \frac{14}{18} = \frac{15}{18} \\ \\ \frac{15}{18} = \frac{15}{18}$

Первый корень подходит.

$\frac{1}{-4+6} + \frac{7}{-4-3} = \frac{5}{-4-6} \\ \\ \frac{1}{2} + \frac{7}{-7} = \frac{5}{-10} \\ \\ \frac{1}{2}-1=- \frac{1}{2} \\ \\ - \frac{1}{2}=- \frac{1}{2}$

Второй корень тоже подходит. Посторонних корней нет.

Итак, х₁ = 12;  х₂ = – 4