Question

100 баллов. Вычислить интеграл. С подробным (!) объяснением.

Answer 1

квадратный корень - это степень 1/2, а одно из свойств степени: 1/a^n=a^(-n)
$\int\limits^4_0 { \frac{1}{\sqrt{2x+1}} } \, dx = \int\limits^4_0 { \frac{1}{(2x+1)^{ \frac{1}{2} }} } \, dx = \int\limits^4_0 {(2x+1)^{- \frac{1}{2}} } \, dx$
делаем замену:
$2x+1=u \\2dx=du \\dx= \frac{du}{2}$
константа выносится за знак интеграла
$\frac{1}{2} \int\limits^4_0 {(u)^{- \frac{1}{2}} } \, du= \frac{1}{2} * \frac{u^{ -\frac{1}{2} +1}}{-\frac{1}{2} +1}\bigg |^{4}_{0} = \frac{1}{2} *2\sqrt{u}\bigg |^{4}_{0}=\sqrt{u}\bigg |^{4}_{0}=\sqrt{2x+1}\bigg |^{4}_{0}=\\=\sqrt{8+1}-\sqrt{1}=3-1=2$
Ответ: 2