Question

Помогите решить однородное дифференциальное уравнение xy'+y(ln(y/x)-1)=0

Answer 1

$xy'+y(ln\frac{y}{x}-1)=0\\y=tx;y'=t'x+t\\\\x(t'x+t)+tx(lnt-1)=0|:x\\t'x+t+tlnt-t=0\\t'x+tlnt=0\\t'x=-tlnt|*\frac{dx}{xtlnt}\\\frac{dt}{tlnt}=-\frac{dx}{x}\\\\tlnt=0\\t=0\ \ \ \ \ lnt=0\\y=0\ \ \ \ \ t=1\\.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y=x\\.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y'=1\\x+x(ln1-1)=0\\0=0\\\\\int \frac{dt}{tlnt}=-\int\frac{dx}{x}\\ln|lnt|=-ln|x|+C\\ln|lnt|+ln|x|=ln|C|\\ln|xlnt|=ln|C|\\xlnt=C\\xln\frac{y}{x}=C$