Question

20БАЛЛОВ Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы равна d и образует с диагональю боковой грани, которая выходит из той же вершины, угол β. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Answer 1

Ответ:

$d^{2}\sqrt{3(1-cos\beta )}(\sqrt{12cos\beta -6}+\sqrt{1-cos\beta })$

Объяснение:

S = Sполн = Sбок + 2Sabc

Из ΔА₁СВ₁ по теореме косинусов найдем сторону основания:

A₁B₁² = d² + d² - 2 · d · d · cosβ = 2d² - 2d²cosβ=2d²(1 - cosβ)

$A_{1}B_{1}=d\sqrt{2(1-cos\beta )}$

Из ΔАА₁С по теореме Пифагора найдем высоту:

$AA_{1}=\sqrt{d^{2}-AC^{2}}=\sqrt{d^{2}-2d^{2}(1-cos\beta )}=d\sqrt{1-2+2cos\beta }=d\sqrt{2cos\beta -1}$

Sбок = Pосн · h

Sбок = $3d\sqrt{2(1-cos\beta )}\cdot d\sqrt{2cos\beta -1}=3d^{2}\sqrt{2(1-cos\beta )(2cos\beta -1)}$

$S_{ABC}=\dfrac{A_{1}B_{1}^{2}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{2d^{2}(1-cos\beta )\sqrt{3}}{4}=\dfrac{d^{2}\sqrt{3}(1-cos\beta )}{2}$

$S=3d^{2}\sqrt{2(1-cos\beta )(2cos\beta -1)}+2\cdot \dfrac{d^{2}\sqrt{3}(1-cos\beta )}{2}$

$S=3d^{2}\sqrt{2(1-cos\beta )(2cos\beta -1)}+d^{2}\sqrt{3}(1-cos\beta )$

$S=d^{2}\sqrt{3(1-cos\beta )}(\sqrt{12cos\beta -6}+\sqrt{1-cos\beta })$