Question

(сам уже сдаюсь, помогите)Подробно исследовать функции:
1. y=(1+x+x^2)/((x)^2+1)
2. y=sqrt(8x^2-x^4)

Answer 1

ДАНО

Y=(x²+x+1)/(x²+1)

ИССЛЕДОВАНИЕ

1.Область определения D(x) - непрерывная  Х∈(-∞;+∞).

Вертикальных асимптот - нет.

2. Пересечение с осью Х - нет. 

3. Пересечение с осью У.  У(0) = 1. 

4. Поведение на бесконечности.  lim(-∞) = 1limY(+∞) = 1. 

Горизонтальная асимптота - Y =  1.

5. Исследование на чётность.Y(-x) ≠ - Y(x).

Функция ни четная ни нечётная. 

6. Производная функции.

$Y'(x)= \frac{2x+1}{x^2+1}- \frac{2x*(x^2+x+1)}{(x62+1)^2}=0$

Корни при Х= +/- 1.

7. Локальные экстремумы. 

Максимума - Ymax(1) = 3/2, минимум  – Ymin(-1)  =1/2.

8. Интервалы монотонности. 

Убывает - Х∈(-∞;-1]∪[1;+∞). Возрастает - Х∈[-1;1]

9. Вторая производная - Y"(x).

Корни производной - точки перегиба:  х1 =-√3, х2= √3.  (≈1,7) 

9. Выпуклая “горка» Х∈(-∞;√3]∪[0;√3], 

Вогнутая – «ложка» Х∈[-√3;0]∪[√3;+∞). 

10. Область значений Е(у) У∈(-∞;1) 

11. График в приложении
ДАНО
Y=√(8*x² - x⁴).
 1 Область определения D(x) - X∈(0;2√2)
2. Первая производная.
$Y'(x)= \frac{8*x-2x^3}{ \sqrt{8*x^2-x^4} }$
Корень производной -  х = 2.
Ymax(2)=4 - максимум
График в приложении.