Question

30БАЛЛОВ Площадь полной поверхности правильного тетраэдра составляет
120 корней из 3 см^2. Найдите его высоту.

Answer 1

 Если ребро тетраэдра равна $a$, высота правильного тетраэдра проецируется в центр описанной окружности описанной около правильного треугольника на которую опущена высота $H$, а радиус описанной окружности равен  
$R= \dfrac{\sqrt{3}a}{3} \\ H=\sqrt{a^2-R^2} = \sqrt{a^2-\dfrac{a^2}{3}} = \sqrt{\dfrac{2}{3}}a\\ S_{poln} = 4S_{prav} = a^2 \sqrt{3} = 120\sqrt{3}\\ a=\sqrt{120} \\ H=\sqrt{\dfrac{2}{3} \cdot 120} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$