Question

Найдите общее и частное решение дифференциального уравнения:
xy'+y=x^2,если y=2,при x=1

Можно по-подробней,пожалуйста?Заранее спасибо.

Answer 1

ЛНДУ 1-го порядка:
$xy'+y=x^2\\y=uv;y'=u'v+v'u\\xu'v+xv'u+uv=x^2\\xu'v+u(xv'+v)=x^2\\\begin{cases}xv'+v=0\\u'v=x\end{cases}\\\frac{xdv}{dx}+v=0|*\frac{dx}{xv}\\\frac{dv}{v}=-\frac{dx}{x}\\\int\frac{dv}{v}=-\int\frac{dx}{x}\\ln|v|=-ln|x|\\v=\frac{1}{x}\\\frac{du}{xdx}=x|*xdx\\du=x^2dx\\\int du=\int x^2dx\\u=\frac{x^3}{3}+C\\y=\frac{x^2}{3}+\frac{C}{x}\\y(1)=2\\2=\frac{1}{3}+C\\C=1\frac{2}{3}\\OTBET:y=\frac{x^2}{3}+\frac{5}{3x}$