Question

Сколько нулей стоит в конце числа, равного произведению натуральных чисел от 1 до 1212?

Answer 1

Ответ:

300

Пошаговое объяснение:

Нули возникают при умножении 2 на 5. Цифр 2 очень много, в каждом четном числе, цифр 5 намного меньше.

Поэтому количество 0 равно количеству цифр 5 в множителях.

5, 10, 15, ..., 1215 - это 243 раза цифра 5.

25, 50, 75, ..., 1200 - это 48 раз по две цифры 5.

125, 250, 375, ..., 1000 - это 8 раз по три цифры 5.

625 - это 1 раз по 4 цифры 5

Всего 243 + 48 + 8 + 1 = 300 нулей.

Answer 2

Ответ: 300

Пошаговое объяснение:

Нули в конце числа 1212! образуются из произведения составляющих множителей пятерок и двоек. Т.к. множителей двоек будет больше, чем пятерок, то нам необходимо посчитать сколько множителей пятерок будет в числах от 1 до 1212.

Пятерки будут в числах кратных 5 и всем степеням пятерки до 5^4 = 625 (5^5 = 3125 > 1212 и чисел кратных 3125 у нас уже не будет). Числа кратные 5 посчитаем по одному разу, числа кратные 25 тоже по разу (одну из их пятерок мы уже учли при подсчете кратных 5), еще по разу числа кратные 125 (5^3) и 625 (5^4).

Общая формула количества пятерок будет:

$N=[\frac{1212}{5}]+[\frac{1212}{25}]+[\frac{1212}{125}]+[\frac{1212}{625}]$

где [x] означает целую часть числа. В итоге получим:

$N=[\frac{1212}{5}]+[\frac{1212}{25}]+[\frac{1212}{125}]+[\frac{1212}{625}]=[242,4]+[48,48]+[9,696]+[1,9392]=242+48+9+1=300$

Т.е. во всех числах нашего факториала наберется 300 множителей пятерок, а следовательно в итоговом числе будет 300 нулей.