Question

Основание равнобедренного треугольника равно 12 см, а высота, проведенная к
боковой стороне, равна 9,6 см. Найдите периметр треугольника

Answer 1

Дано: ABC - равнобедренный треугольник; AC = 12 см; AD = 9.6 см; AB=BC.

Найти: Рabc.

             Решение:

Из прямоугольного треугольника ADC по теореме Пифагора найдем CD

$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{12^2-9.6^2}=7.2$ см.

Пусть $BD=x$, тогда $BC=x+7.2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC найдем высоту BH к стороне основания AC; AH=CH=AC/2=6 см.

$BH=\sqrt{BC^2-CH^2}=\sqrt{(x+7.2)^2-6^2}=\sqrt{(x+13.2)(x+1.2)}$

Площадь равнобедренного треугольника равна $S=\dfrac{AD\cdot BC}{2}$, с другой стороны $S=\dfrac{BH\cdot AC}{2}$

Приравнивая площади, получим AD * BC = BH * AC.

$9.6\cdot(x+7.2)=12\cdot\sqrt{(x+13.2)(x+1.2)}$

После возведения в квадрат обе части уравнения и упрощений с подобными членами вы должны получить следующее квадратное уравнение

$25x^2+360x-1204=0$

Корни которого: $x_1=-17.2$ - не удовлетворяет условию

                               $x_2=2.8$ см

Тогда $BC=x+7.2=2.8+7.2=10$ см

Pabc = AB + BC + AC = 10 + 10 + 12 = 32 см

Ответ: 32 см.

Answer 2

ΔABC - равнобедренный, AB=BC; AF⊥BC; AC=12 см; AF=9,6 см

Найти: $P_{ABC}$

Решение :

ΔAFC - прямоугольный.  По теореме Пифагора

FC² = AC² - AF² = 12² - 9,6² = 51,84 = 7,2²

FC = 7,2 см

Высота BH  в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию AC, является одновременно медианой.  ⇒  

AH = HC = AC/2 = 12/2 = 6 см

ΔAFC ~ ΔBHC. Подобны по двум равным углам:  прямому и общему острому ∠С.

$\dfrac{FC}{HC}=\dfrac{AC}{BC}~~~\Rightarrow~~~BC=\dfrac{HC\cdot AC}{FC}=\dfrac{6\cdot 12}{7,2}=10$

AB = BC = 10 см

$P_{ABC}=AB+BC+AC=10+10+12=32$

Ответ: периметр треугольника равен 32 см