Question

Постройте график функции y=$\frac{(x-1)( x^{2} +3x+2)}{x+2}$ и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Answer 1

***Решение***
Разложим на множители $(x^2+3x+2)$
для этого воспользуемся формулой разложения на множители
$ax^2 + bx+ c = a ( x - x1 ) ( x - x2 )$
где x1,x2 - корни квадратного уравнения.
*Решим по теореме Виета*
$(x^2+3x+2)$
$\left \{ {{x1+x2=-3} \atop {x1*x2=2}} \right. =\ \textgreater \ \left \{ {{x1=-2} \atop {x2=-1}} \right.$
*Для тех кто любит через дискриминант*
 $D=3^2-(4*1*2)=9-8=1\\ \sqrt{D} =+/-1\\ x1= \frac{-3+1}{2} = \frac{-2}{2} =-1\\ x2=\frac{-3-1}{2} = \frac{-4}{2} =-2$
В итоге получаем
$(x^2+3x+2)=(x+1)(x+2)$
Проверяем
$(x+1)(x+2)=x^2+2x+x+2=x^2+3x+2$
Подставляем в исходное
$y= \frac{(x-1)*(x+1)(x+2)}{(x+2)}$
сокращаем и получаем
$y= (x-1)*(x+1)=x^2-1$
по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
Это у нас парабола, потому что квадратное уравнение.
найдем Xвершины
по формуле
$x_{B} = \frac{-b}{2*a} = \frac{-0}{2*1} =0$
теперь Увершины поставив Х в уравнение
$x^2-1=0^2-1=-1$
Вершина $( 0 ; - 1)$
найдем пересечение с Оу и Ох
Пересечение с Оу => х=0
$x^2-1=0^2-1=-1\\ Oy=(0;-1)$
найдем пересечение с Оу и Ох
Пересечение с Оx => y=0
$x^2-1=0\\ x^2=1\\ x= \sqrt{1} x=+/-1$
график в приложении
График вида y=a , где а - любое число. будет представлять собой прямую параллельную оси Ох.
 Координаты вершины (0;-1)
в этом месте у такой прямой будет 1 общая точка с графиком параболы. 
Так же вернемся к условию. 
x+2  у нас знаменатель.
следовательно 
x+2≠0
x≠-2
Значит в этой точке график не существует.
$x^2-1=(-2)^2-1=4-1=3$
значит прямая y=3 тоже будет иметь 1 общую точку с параболой 
Ответ: m= - 1 и m=3