Question

Решите уравнение

4sinx=3cosx

Answer 1

делаем замену:
$y=tg(\frac{x}{2})$
так как:
$tg(\frac{x}{2})=\frac{1-cosx}{sinx}=\frac{sinx}{1+cosx}$
то выражаем синус и косинус через y:
$ysinx=1-cosx \\cosx=1-ysinx \\sinx=y(1+cosx) \\cosx=1-y*y(1+cosx) \\cosx=1-y^2-y^2*cosx \\y^2cosx+cosx=1-y^2 \\cosx(y^2+1)=1-y^2 \\cosx=\frac{1-y^2}{y^2+1} \\sinx=y(1+\frac{1-y^2}{y^2+1}) \\sinx=y(\frac{y^2+1+1-y^2}{y^2+1}) \\sinx=\frac{2y}{y^2+1}$
подставляем:
$4*\frac{2y}{y^2+1}=3*\frac{1-y^2}{y^2+1} \\y^2+1\ \textgreater \ 0,\forall \ x \in R \\4*2y=3(1-y^2) \\8y=3-3y^2 \\3y^2+8y-3=0 \\D=64+36=100=10^2 \\y_1= \frac{-8+10}{6} = \frac{1}{3} \\y_2= \frac{-8-10}{6} =-3$
обратная замена:
$y=\frac{1}{3} \\sinx= \frac{ \frac{2}{3} }{1+ \frac{1}{9} } \\sinx=0,6 \\cosx= \frac{1- \frac{1}{9} }{1+ \frac{1}{9} } \\cosx=0,8$
но если sinx=0,6 и cosx=0,8 - то x - для синуса и косинуса - общий угол(так как и синус и косинус положительны => это угол в 1 четверти), поэтому 1 корень можно записать например, через арккосинус :
$x_1=arccos(0,8)+2\pi n,\ n \in Z$
аналогично со 2 корнем:
$y=-3 \\sinx= \frac{-6}{9+1} =- \frac{6}{10} =-0,6 \\cosx= \frac{1-9}{9+1} =- 0,8$
это синус и косинус одного угла, но так как и синус и косинус - отрицательны => угол этот находится в 3 четверти. В 1 корне sinx=0,6; cosx=0,8. Во 2 корне sinx=-0,6; cosx=-0,8. Значит можно сделать вывод, что точки диаметрально противоположные и решение всего уравнения можно записать одной формулой:
$x=arccos(0,8)+\pi n,\ n \in Z$
Ответ: $x=arccos(0,8)+\pi n,\ n \in Z$