Question

Слабо решить , пол дня потратил чтобы это решить

1/1+sqrt2 + 1/sqrt2+sqrt3+1/sqrt3+sqrt4 + .....+1/sqrt80+sqrt81

Answer 1

$\star \; \; \; \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1})^2-(\sqrt{n})^2}=\\\\=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1-n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\quad \star \; \; \Rightarrow \\\\\frac{1}{1+\sqrt2}=\sqrt2-1\; \; ,\; \; \frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}=\sqrt3-\sqrt2\; \; ,\; \; \frac{1}{\sqrt3+\sqrt4}=\sqrt4-\sqrt3\; ,...$

$\frac{1}{1+\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}+\frac{1}{\sqrt3+\sqrt4}+...+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}+\frac{1}{\sqrt{80}+\sqrt{81}}=\\\\=(\sqrt2-1)+(\sqrt3-\sqrt2)+(\sqrt4-\sqrt3)+...+\\\\+(\sqrt{80}-\sqrt{79})+(\sqrt{81}- \sqrt{80})=-1+\sqrt{81}=-1+9=8$