Question

Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 4 больше числителя. Если числитель этой дроби увеличить на 2, а знаменатель на 21, то дробь уменьшиться на 1/4 . Найдите эту дробь

Answer 1

Пусть x — знаменатель дроби, тогда
$\frac{x - 4}{x} - \frac{1}{4} = \frac{(x - 4) + 2}{x + 21}, \\ \frac{4x - 16 - x}{4x} = \frac{x - 2}{x + 21}, \\ \frac{(3x - 16)(x + 21) - 4x(x - 2)}{4x(x + 21)} = 0, \\ \frac{3x^2 + 63x - 16x - 336 - 4x^2 + 8x}{4x^2 + 84x} = 0, \\ \frac{-x^2 + 55x - 336}{4x^2 + 84x} = 0.$
Перейдем к системе:
$\left \{ {{-x^2 + 55x - 336 = 0, (1)} \atop {4x^2 + 84x \neq 0. (2)}} \right.$
Решим (1):
−x² + 55x − 336 = 0,
x² − 55x + 336 = 0,
D = 55² − 4*336 = 3025 − 1344 = 1681 = 41²,
$\left[\begin{array}{ccc}x = \frac{55 + 41}{2}, \\x = \frac{55 - 41}{2}; \end]$
$\left[\begin{array}{ccc}x = 48, \\x = 7; \end]$
Оба корня удовлетворяют условию (2).
Подставим первый корень:
$\frac{x-4}{x} = \frac{44}{48}$ — не подходит, т. к. в условии сказано, что дробь несократима.
Подставим второй корень:
$\frac{x - 4}{x} = \frac{3}{7}$ — подходит по условию.
Ответ: $\frac{3}{7}$.