Question

Помогите пожалуйста решить интеграл,задание на фотке.

Answer 1

$\int\limits^4_{-3} { \frac{(2x+1)^2}{x} } \, dx$

Если нет ошибки в нижнем пределе, и там действительно минус три, то подынтегральная функция в точке х=0 терпит разрыв. Тогда этот интеграл несобственный. Раз уж так получилось, что точка разрыва где-то посередине отрезка интегрирования, то разобьём интеграл на сумму двух:
$\int\limits^4_{-3} { \frac{(2x+1)^2}{x} } \, dx =\int\limits^0_{-3} { \frac{(2x+1)^2}{x} } \, dx + \int\limits^4_{0} { \frac{(2x+1)^2}{x} } \, dx$

Интегралы одинаковые, только пределы разные, поэтому для начала возьмём неопределённый интеграл:
$\int\limits { \frac{(2x+1)^2}{x} } \, dx = \int\limits { \frac{4x^2+4x+1}{x} } \, dx = \int\limits {( 4x +4 + \frac{1}{x} )} \, dx = \\ \\ = 2x^2+4x+ln|x| +C$

А тут ещё одна неприятность вылезла. Если мы будем подставлять в первообразную пределы интегрирования, то столкнёмся с логарифмом от нуля. А логарифм при стремлении переменной к нулю стремится к минус бесконечности!
$\lim_{x \to \inft0} lnx = - \infty$

Значит, несобственный интеграл второго рода расходится.