Question

в равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 20 градусам.
Доказать, что имеет место равенство a3+b3=3ab2

Answer 1

Сделаю предположение, что a - это основание, b - боковая сторона. Опустив высоту на основание, получаем прямоугольный треугольник с катетом (a/2) против угла в 10 градусов и гипотенузой b. Поэтому

$\frac{a}{2b}=\sin 10^{\circ}.$. 

Далее, $\frac{1}{2}=\sin 30^{\circ}=\sin (3\cdot 10^{\circ})=3\sin 10^{\circ}-4\sin^3 10^{\circ}.$

Подставим в это равенство a/(2b) вместо синуса 10 градусов:

$\frac{1}{2}=\frac{3a}{2b}-\frac{4a^3}{8b^3}\Rightarrow b^3=3ab^2-a^3;\ a^3+b^3=3ab^2,$

что и требовалось