Question

Докажите следующее равенство

Answer 1

$\int f(x)\, dx=F(x)+C\; \; \Rightarrow \; \; \; (F(x)+C)'=F'(x)=f(x)\\\\\\\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} =arcsin\frac{x}{a}+C\; \; \Rightarrow \\\\(arcsin\frac{x}{a}+C)'=(arcsin \frac{x}{a})'=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}}\cdot (\frac{x}{a})'=\frac{1}{\sqrt{\frac{a^2-x^2}{a^2}}}\cdot \frac{1}{a}=\\\\=\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2}}\cdot \frac{1}{a}= \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} =f(x)$