Question

Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC и проходит через центр О этого треугольника, ОМ = а, ∠MCO = φ. Найдите: а) расстояние от точки М до каждой из вершин треугольника ABC и до прямых АВ, ВС и СA; б) длину окружности, описанной около треугольника ABC; в) площадь треугольника ABC.

Answer 1

Ответ:

а) $MA=MB=MC=\dfrac{a}{sin\phi }$

$MK=MH=MP=\dfrac{a}{2}\sqrt{\dfrac{4tg\phi +1}{tg\phi}}$

б) $C=\dfrac{2a\pi}{tg\phi }$

в) $S=\dfrac{3a^{2}\sqrt{3}}{4tg^{2}\phi }$

Объяснения:

Пусть К, Н и Р - середины сторон АВ, ВС и АС соответственно, тогда

АН⊥ВС, ВР⊥АС, СК⊥АВ (треугольник правильный, медианы, высоты и биссектрисы совпадают).

Центр О правильного треугольника АВС равноудален от вершин и от сторон треугольника, т.е.

АО = ВО = СО,  КО = НО = РО, а эти отрезки - проекции соответствующих наклонных на плоскость треугольника, значит

МА = МВ = МС - расстояния от точки М до вершин

и  МК = МН = МР - расстояния от точки М до сторон (МК⊥АВ, МН⊥ВС, МР⊥АС по теореме о трех перпендикулярах).

а) ΔМОС: ∠МОС = 90°,

  $sin\phi =\dfrac{a}{MC}$

$MC=\dfrac{a}{sin\phi }$

$tg\phi =\dfrac{a}{CO}$

$CO=\dfrac{a}{tg\phi }$

___

$MA=MB=MC=\dfrac{a}{sin\phi }$

____

$OK=\dfrac{CO}{2}=\dfrac{a}{2tg\phi }$, так как медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Из прямоугольного треугольника МОК по теореме Пифагора:

$MK=\sqrt{a^{2}+\dfrac{a^{2}}{4tg\phi }}=\dfrac{a}{2}\sqrt{\dfrac{4tg\phi +1}{tg\phi}}$

___

$MK=MH=MP=\dfrac{a}{2}\sqrt{\dfrac{4tg\phi +1}{tg\phi}}$

____

б) СО - радиус описанной окружности. Тогда длина окружности:

$C=2\pi \cdot CO=\dfrac{2a\pi}{tg\phi }$

_____

в) $CK=CO+OK=\dfrac{3a}{2tg\phi }$

$CK=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}$

$AB=\dfrac{2CK}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\cdot 3a}{2\sqrt{3}tg\phi }=\dfrac{a\sqrt{3}}{tg\phi }$

Площадь правильного треугольника АВС:

$S=\dfrac{AB^{2}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3a^{2}\sqrt{3}}{4tg^{2}\phi }$