Question

помогите вычислить интеграл
$\int\limits^ \frac{\pi}{4} _ \frac{\pi}{3} [3 - 3 \cot ^{2} (x) ]\, dx$
подробно, пожалуйста

Answer 1

$\star \; \; \int (3-3ctg^2x)\, dx =3\int dx-3\int ctg^2x\, dx=\\\\=\Big [\, ctg^2x=\frac{cos^2x}{sin^2x}=\frac{1-sin^2x}{sin^2x}=\frac{1}{sin^2x}-1\, \Big ]=\\\\=3x-3\int (\frac{1}{sin^2x}-1)dx=3x-3(-ctgx-x)+C=\\\\=3x+3ctgx+3x+C=6x+3ctgx+C\; \; \star \\\\\\\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_{\frac{\pi}{3}} (3-3ctg^2x)\, dx=(6x+3ctgx)\Big |_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{4}}=\\\\=6\cdot \frac{\pi }{4}+3ctg\frac{\pi }{4}-(6\cdot \frac{\pi }{3}+3ctg\frac{\pi}{3})=\frac{3\pi }{2}+3-2\pi -3\cdot \frac{\sqrt3}{3}=$

$=-\frac{\pi }{2}+3-\frac{\sqrt3}{3}=\frac{18-3\pi -2\sqrt3}{6}$