Question

Докажите , что при любом натуральном значении n выполняется равенство :

Answer 1

Докажем с помощью математической индукций 
база 1 верна 
теперь переход n->n+1
$1^3+2^3+3^3+...n^3=frac{n^2(n+1)^2}{4}$
переход
$1^3+2^3+3^3+...n^3+(n+1)^3=frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}$
 так как  предыдущий ряд равен $frac{n^2(n+1)^2}{4}$
 то нужно доказать что $frac{(n+1)^2*n^2}{4}+(n+1)^3=frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}$
докажем 
$frac{(n+1)^2*n^2}{4}+(n+1)^3=frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}\ frac{(n+1)^2*n^2+4(n+1)^3}{4}=frac{(n+1)^2*(n+2)^2}{4}\ frac{(n+1)^2(n^2+4(n+1))}{4}=frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}\ frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}=frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}$
Доказано

2)$1^3+3^3+5^3...+(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)\ n=1 verno\ n->n+1\ 1^3+3^3+5^3...(2n-1)^3+(2n+1)^3=(n+1)^2(2(n+1)^2-1)\ n^2(2n^2-1)+(2n+1)^3=(n+1)^2(2(n+1)^2-1)\ (n+1)^2(2n^2+4n+1)=(n+1)^2(2n^2+4n+1)$
Доказано