Question

выделяется ли грамматическая основа в прямой речи?

Answer 1

Прямая речь не является членом предложения, но в прямой речи, как и в каждом предложении, есть своя грамматическая основа

Answer 2

Да, так как это такое же предложения и правила русского языка в нем никто не отменял