Question

$1) log(x - 1 ) \leqslant 3$
$2)log_{3}(x + 2) + log_{3}x = 1$

Answer 1

1) Сделаем с 3 логарифм с основанием первого логарифма (2):
$2^3= 8.$ Поэтому:
$3= log_28.$

Получаем:
$log_2(x-1) \leq log_28.$

Область допустимых значений:
$x-1\ \textgreater \ 0; \\ x\ \textgreater \ 1.$

Основания равны, можем приравнять выражения.
Основание больше 1, поэтому знак неравенства остается прежний [$a=2\ \textgreater \ 1$ - функция растущая]:
$x-1 \leq 8; \\ x \leq 9.$
Также берём во внимание ОДЗ.
Получаем:
x ∈ (1; 9]
Скобка квадратная, потому что "больше/меньше равно", при просто "больше/меньше" ставится круглая скобка.

2) [Логарифмы с равными основаниями при слогании дают логарифм с этим основанием, а выражения умножаются]
Получим:
$log_3x(x+2)= 1.$

Область допустимых значений:
[Выражение под знаком логарифма большее 0]
$x+2\ \textgreater \ 0; \\ x\ \textgreater \ -2.$

Распишем 1 как логарифм с основанием первого логарифма:
$3^1= 3.$ Поэтому:
$1= log_33.$

Получаем:
$log_3x(x+2)= log_33.$

Основания равные, можем приравнять выражения:
$x(x+2)= 3; \\ x*x+x*2=3; \\ x^2+2x=3; \\ x^2+ 2x-3= 0.$

[Получили квадратное уравнение типа: $ax^2+bx+c= 0.$]
$D= b^2-4ac= 2^2-4*1*(-3)= 16= 4^2; \\ x_1= \frac{-b- \sqrt{D} }{2a}= \frac{-2-4}{2}= -3; \\ x_2= \frac{-b+ \sqrt{D} }{2a}= \frac{-2+4}{2}= 1.$
[Какой корень первый - неважно]
Но, так как в нас есть ОДЗ ($x\ \textgreater \ -2$), то подходит только второй корень 1.

Так как данное уравнение приведенное ($a=1$), можем делать по теореме Виета.
Согласно ей:
$x_1*x_2= c; \\ x_1+x_2= -b.$

В данном случае:
$x_1*x_2= -3; \\ x_2+x_2=-2.$
И подбираем числа по этим параметрам.

В ответе пиши коротко, объяснения просто для понимания процесса.