Question

В n испытаниях Бернулли наивероятнейшим числом успехов оказались числа к и к+1. Найдите вероятность успеха в одном из этих испытаний Бернулли, если известно, что:      а) n=9, k=7.   б)n=99,k=70.   в)n=999.k=699.   г)n=999,k=7.

Answer 1

Наиболее вероятным числом успехов в n испытаниях по схеме Бернулли является:
a) единственное число $k_0=[np+p]$, если число np+p не целое;
б) два числа $k_0=np+p$ и $k_0-1=np+p-1=np-q$, если $np+p$ целое

А) В данном случае np+p - целое. Составляем систему по утверждению б)
$\displaystyle \left \{ {{np-q=k} \atop {np+p=k+1}} \right. ~~~\Rightarrow~~~ \left \{ {{9p-q=7} \atop {9p+p=8}} \right. ~~~\Rightarrow~~~ \left \{ {{q=0.2} \atop {p=0.8}} \right.$

Б) $\displaystyle \left \{ {{np-q=k} \atop {np+p=k+1}} \right. ~~~\Rightarrow~~~ \left \{ {{99p-q=70} \atop {99p+p=71}} \right. ~~~\Rightarrow~~~ \left \{ {{q=0.29} \atop {p=0.71}} \right.$

В) $\displaystyle \left \{ {{np-q=k} \atop {np+p=k+1}} \right.~~~\Rightarrow~~~ \left \{ {{999p-q=699} \atop {999p+p=700}} \right. ~~~\Rightarrow~~~ \left \{ {{q=0.3} \atop {p=0.7}} \right.$

Г) $\displaystyle \left \{ {{np-q=k} \atop {np+p=k+1}} \right.~~~\Rightarrow~~~ \left \{ {{999p-q=7} \atop {999p+p=8}} \right. ~~~\Rightarrow~~~ \left \{ {{q=0.992} \atop {p=0.008}} \right.$