Question

Помогите решить пожалуйста
Сократите дроби:
$\frac{x {}^{2} { - 4x + 1} }{x {}^{2} { - 2(2 + { \sqrt{3} )x + 7 + 4 \sqrt{3} } }}$




$\frac{x {}^{2} { + 2x - 1}^{} }{x {}^{2} { - 2( \sqrt{2} { - 1)x + 3 - 2 \sqrt{2} } } }$

Answer 1

№1
1)  Разложим на множители числитель  (х²-4х+1), для этого решим уравнение:
х² - 4х + 1 = 0

D = b² - 4ac
D = 16 - 4·1·1 = 12
√D = √12 = 2√3

x₁ = (4+2√3)/2 = 2+√3
x₂ = (4-2√3)/2 = 2-√3
Теперь числитель  (х²-4х+1) примет вид:
х²-4х+1 = (х+(2+√3))(х-(2-√3)) = (х+2+√3)(х-2-√3) 

2) Разложим на множители знаменатель (х²-2(2+√3)х+7+4√3).
х²-2(2+√3)х+7+4√3 = х²-2(2+√3)х+(2+√3)² = (х-(2+√3))² = (х-2-√3)² =
= (х-2-√3)(х-2-√3) 

3) А теперь сократим дробь.
$\frac{( \frac{x}{y} +2+ \sqrt{3})(x-2- \sqrt{3} )}{(x-2- \sqrt{3} )(x-2- \sqrt{3} )} = \frac{x+2+ \sqrt{3} }{x-2- \sqrt{3} }$

№2
1) Разложим на множители числитель  (х²+ 2х - 1), для этого решим уравнение:
х² + 2х - 1 = 0

D = b² - 4ac
D = 4 - 4·1·(-1) = 4+4=8
√D = √8 = 2√2

x₁ = (-2+2√2)/2 = -1+√2
x₂ = (-2-2√2)/2 = -1-√2
Теперь числитель  (х²+2х-1) примет вид:
х²+2х-1 = (х-(-1+√2))(х-(-1-√2)) = (х+1-√2)(х+1+√2) 

2) Разложим на множители знаменатель (х²-2(√2-1)х+3-2√2).
х²-2(√2-1)х+3-2√2 = х²-2(√2-1)х+(√2-1)² = (х-(√2-1))² = 
= (х-√2+1)(х-√2+1) = (x+1-√2)(x+1-√2)

3) А теперь сократим дробь.
$\frac{(x+1- \sqrt{2} )(x+1+ \sqrt{2} )}{(x+1- \sqrt{2} )(x+1- \sqrt{2} )}= \frac{x+1+ \sqrt{2} }{x+1- \sqrt{2} }$