Question

а) Решите уравнение log–cosx(1–0.5sinx)=2
б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку [14π; 16π]

Answer 1

$\log_{-\cos x}(1-0,5\sin x)=2; (-\cos x)^2=\frac{2-\sin x}{2}; 2\cos^2 x=2-\sin x;$

$2-2\sin^2 x=2-\sin x;\ \sin x(2\sin x-1)=0;\ \left [ {{\sin x=0} \atop {\sin x=1/2}} \right.$

1) $\sin x=0; x=\pi n$ - не входит в ОДЗ, так как при $x=2\pi k$ основание логарифма $-\cos (2\pi k)=-1\ \textless \ 0$, а при $x=(2k+1)\pi$ основание логарифма равно 1.

2) $\sin x=1/2; \left [ {{x=\pi/6+2\pi n} \atop {x=5\pi/6+2\pi m}} \right.$.

Первая серия не подходит, так как в первой четверти основание логарифма отрицательно. Проверим подстановкой в уравнение, что вторая серия подходит:

$\log_{-\cos(5\pi/6+2\pi m)}(1-0,5\sin(5\pi/6+2\pi m))=\log_{\sqrt{3}/2}(1-0,25)=$

$=\log_{\sqrt{3}/2}(\sqrt{3}/2)^2=2$ - верно

Итак, в первом пункте ответ $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi m; m\in Z$

Во втором пункте ответ очевиден: в указанный промежуток входит единственный корень $x=\frac{5\pi}{6}+14\pi$