Question

Точки О, М, К и F - соответсвтенно середины ребер АВ, ВС, АD и DС правильной четырехугольной пирамиды SABCD. Точка З лежит на ребре SC, СР:РS=1:2. Докажите, что плоскости FPM и KSO параллельны

Answer 1

Треугольник ABC подобен треугольнику MBN по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Тогда углы BAC и BMN равны, и AC || MN. Далее, PQ || AC поскольку является средней линией треугольника ADC. Значит, MN || PQ и поэтому P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б) Пусть объём ABCD равен V. Пятигранник APMCQN состоит из четырёхугольной пирамиды PACNM с основанием ACNM и треугольной пирамиды PQCN с основанием QCN. Выразим их объемы через V.

Расстояние от P до (BCD) вдвое меньше расстояния от A до (BCD), а площади треугольников QCN и BCD относятся как 1 : 6. Значит, 

Площадь треугольника MBN составляет  площади ABC. Значит,  Расстояние от точки P до (ABC) вдвое меньше расстояния от D до (ABC), поэтому 

Таким образом,  то есть Ответ: 13 : 23.