Question

интеграл от 0 до п/4 sin^2(x-п/6)

Answer 1

$\int\limits^{ \frac{ \pi }{4} }_0 {sin^2(x- \frac{ \pi }{6} )} \, dx = \int\limits^{ \frac{ \pi }{4} }_0 {sin^2(x- \frac{ \pi }{6} )} \, dx = \frac{1}{2} \int\limits^{ \frac{ \pi }{4} }_0 {(1-cos(2x- \frac{ \pi }{3} ))} \, dx = \\ \\ = \frac{1}{2} \int\limits^{ \frac{ \pi }{4} }_0 {1} \, dx - \frac{1}{2} \int\limits^{ \frac{ \pi }{4} }_0 {cos(2x- \frac{ \pi }{3} )} \, dx =$

$= \frac{1}{2} \int\limits^{ \frac{ \pi }{4} }_0 {1} \, dx - \frac{1}{2} \int\limits^{ \frac{ \pi }{4} }_0 {\frac{1}{2}cos(2x- \frac{ \pi }{3} )} \, d(2x- \frac{ \pi }{3} ) = \\ \\ = \frac{1}{2} x|_0^{ \frac{ \pi }{4} } - \frac{1}{4} sin(2x- \frac{ \pi }{3} )|_0^{ \frac{ \pi }{4} } = \frac{ \pi }{8} - \frac{1}{4}( sin( \frac{ \pi }{2} -\frac{ \pi }{3} ) - sin(0-\frac{ \pi }{3}) ) = \\ \\ = \frac{ \pi }{8} - \frac{1}{4} ( sin \frac{ \pi }{6} +sin \frac{ \pi }{3} ) =$

$= \frac{ \pi }{8} - \frac{1}{4} ( \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2} ) = \frac{1}{8} ( \pi -1- \sqrt{3} ) \approx 0,051$