Question

Решить дифференциальные уравнения(найти общее решение уравнения)80 БАЛЛОВ

Answer 1

Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Всё, что относится к игрекам переносим в левую часть, что к иксам - в правую. Затем представляем в виде степенной функции, избавляясь от радикалов, чтобы применить табличный интеграл степенной функции.

$\frac{dy}{ \sqrt{x} } = \frac{3dx}{ \sqrt{y} } \\ \\ \sqrt{y}dy = 3\sqrt{x} dx \\ \\ \int\limits {\sqrt{y}} \, dy = \int\limits {3\sqrt{x} } \, dx \\ \\ \int\limits {y^{ \frac{1}{2} }} \, dy = \int\limits {3 x^{ \frac{1}{2} } } \, dx \\ \\ \frac{1}{ \frac{1}{2} +1} y^{ \frac{1}{2}+1 } = 3 \frac{1}{ \frac{1}{2} +1} x^{ \frac{1}{2}+1 } + C \\ \\ \frac{2}{3} y^{ \frac{3}{2} } = 3 \frac{2}{3} x^{ \frac{3}{2}} + C \\ \\ y^{ \frac{3}{2} } = 3 x^{ \frac{3}{2}} + C$

На этом можно остановиться. А можно и дальше преобразовать.
$\sqrt{y^3} = 3 \sqrt{x^3} + C$
Или
$(y^{ \frac{3}{2} } )^ \frac{2}{3} = (3 x^{ \frac{3}{2}} + C)^ \frac{2}{3} \\ \\ y = (3 x^{ \frac{3}{2}} + C)^ \frac{2}{3} = (3 \sqrt{x^3} + C)^ \frac{2}{3}$