Question

Решите уравнение:
sinx+cosx=1

Answer 1

Домножив все на sqrt(2)/2, получим:

sin(x+pi/4)=sqrt(2)/2
x+pi/4=pi/4+2pi*n
или
x+pi/4=3*pi/4+2pi*n
---------------------------
x=2pi*n
или
x=pi/2+2pi*n

Answer 2

Из условия ясно, что x находится в первой четверти. $x=2\pi n$ и $x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$ очевидно, являются решениями. Докажем, что других нет. Будем искать решения при $x\in (0; \frac{\pi}{2})$ (если решения найдутся, то для получения всех решений достаточно будет добавить $2\pi n$). Можно считать, что $\sin x$ и $\cos x$ являются катетами прямоугольного треугольника с гипотенузой 1 (угол x - против катета длиной $\sin x$). Поскольку сумма двух сторон треугольника больше третьей, делаем вывод, что 

$\sin x+\cos x\ \textgreater \ 1,$

 то есть решений на этом промежутке нет.

Ответ: $2\pi n;\ \frac{\pi}{2}+2\pi n$