Question

Решите уравнение:
sinx+cosx=1

Answer 1

Уравнения такого вида решаются путем применения формул половинного аргумента:

Answer 2

Ясно, что решения могут находиться только в первой четверти (если синус или косинус отрицателен, их сумма будет меньше 1). Решения $2\pi n$ и $\frac{\pi}{2}+2\pi n$ очевидны. Докажем, что других решений нет. Пусть x лежит строго в первой четверти, тогда $0\ \textless \ \sin x\ \textless \ 1;\ 0\ \textless \ \cos x\ \textless \ 1\Rightarrow \sin^2 x\ \textless \ \sin x;\ \cos^2 x\ \textless \ \cos x\Rightarrow$

$1=\sin^2 x+\cos^2 x\ \textless \ \sin x+\cos x.$

Итак, $\sin x+\cos x\ \textgreater \ 1\Rightarrow$ решений больше нет