Question

При каком значении a сумма квадратов корней уравнения 2x^2+ax-9=0 равна 11,25?

Answer 1

Вспомогательная теорема
Если x1 и x2 - корни приведенного квадратного уравнения x^2+px+q=0, то выполняется равенство:
$x_1^2+x_2^2=p^2-2q$
Док-во:
Дополним до квадрата суммы левую часть:
$x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$
Исходя из теоремы Виета, а именно: сумма корней уравнения равно противоположному значению второго коэффициента, а произведение корней равна свободному члену (т.е. q). Таким образом:
$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-p)^2-2q=p^2-2q$,
ч.т.д.
Решение:
Поделим все уравнение на 2. Получим приведенное квадратное уравнение:
$x^2+frac{a}{2}x-4,5=0$
Тогда пользуемся нашей вспомогательной теореме, получим:
$x_1^2+x_2^2=frac{a^2}{4}-9$
Поскольку сумма квадратов корней уравнения должно быть равным 11,25, то получим верное тождество:
$frac{a^2}{4}-9=11,25$
Решим уравнение:
$a^2-36=45 \ a^2=81 \ a=б 9$
Можете в этом убедиться, подставив вместо a - 9 или (-9).
Ответ:при a=9;-9