Question

найдите точки перегиба кривой: f(x)=x^3-x

Answer 1

Ответ:

Точки перегиба кривой (0; 0)

Пошаговое объяснение:

Точками перегиба функции называются такие точки, в окрестности которых f ′′(x) меняет знак.

1) Вычислим вторую производную от функции f(x)=x³-x:

f′(x)=(x³-x)′=3·x²-1

f′′(x)=(3·x²-1)′=6·x

2) Приравниваем вторую производную от функции и находим нули второй производной:

f′′(x)=0 ⇔ 6·x=0 ⇔ x=0.

3) Точка x=0 делит ось Ох на промежутки (-∞; 0) и (0; +∞). Проверим знак второй производной на этих промежутках:

а) x∈(-∞; 0): f′′(x)<0, так как, например, при x=-1:

f′′(-1)=6·(-1)=-6<0;

б) x∈(0; +∞): f′′(x)>0, так как, например, при x= 1:

f′′(1)=6·(1)=6>0.

4) Вторая производная в окрестности точки x=0 меняет знак и

f(0)=0³-0=0,

то точка (0; 0) - точка перегиба.