Question

Найти неопределённый интеграл подробно , со всеми пояснениями. Результаты проверить дифференцированием

Answer 1

$\int\limits { \sqrt[3]{1+3x} } \, dx = \frac{1}{3} \int\limits { \sqrt[3]{1+3x} } \, d(3x) = \\ \\ = \frac{1}{3} \int\limits { \sqrt[3]{1+3x} } \, d(1+3x) = \\ \\ = \frac{1}{3} \int\limits { (1+3x)^{ \frac{1}{3} } } \, d(1+3x) = \\ \\ =\frac{1}{3} * \frac{(1+3x)^{ \frac{1}{3}+1 }}{ \frac{1}{3}+1 } +C= \frac{1}{3} * \frac{(1+3x)^{ \frac{4}{3} }}{ \frac{4}{3} } +C= \\ \\ = \frac{1}{3} * \frac{3}{4} *( \sqrt[3]{1+3x}) ^4+C= \frac{( \sqrt[3]{1+3x})^4 }{4} +C$

Проверка:
$d( \frac{( \sqrt[3]{1+3x})^4 }{4} +C)= d(\frac{1}{4} *(1+3x)^ \frac{4}{3} +C)= \\ \\ = \frac{1}{4}* \frac{4}{3}*(1+3x)^{ \frac{4}{3}-1 } *d(3x)= \frac{1}{3}*(1+3x)^ \frac{1}{3} *3*dx= \sqrt[3]{1+3x} dx$