Question

В офисе каждый компьютер был соединён проводами ровно с
5 другими компьютерами. После того, как часть компьютеров по-
разил вирус, все провода от заражённых компьютеров отключили
(всего пришлось отключить 26 проводов). Теперь каждый из неза-
ражённых компьютеров соединён проводами только с 3 другими.
Сколько компьютеров поразил вирус?

Answer 1

Пусть m компьютеров заражено, а n — нет. Тогда до заражения было 5(m + n)/2 проводов, а после отключения их осталось 3n/2 (отсюда, в частности, следует, что n чётно). Рразность этих чисел равна 26, откуда 5m + 2n = 52. Это уравнение имеет два решения в натуральных числах, в которых n чётно (доказать это можно перебором): m = 4, n = 16 и m = 8, n = 6. Первый вариант не годится: даже если бы все зараженные компьютеры были соединены проводами только со здоровыми, то пришлось бы отключить максимум 4 · 5 = 20 проводов, а не 26. Второй вариант годится: можно построить пример. Пример можно построить следующим образом. Обозначим n = 6 здоровых компьютеров буквами A, B, C, D, E, F, а m = 8 заражённых пронумеруем цифрами от 1 до 8. Соединим здоровые компьютеры так: AB, BC, CD, DE, EF, FA, AD, BE, CF. При этом каждый будет соединён проводами с тремя другими, а проводов будет 3n/2 = 9. Теперь добавим по два провода от здоровых компьютеров к заражённым: соединим A и B c 1 и 2 каждый, C и D — с 3 и 4 каждый, E и F — c 5 и 6 каждый. Затем каждый из заражённых компьютеров 1–4 соединим с компьютерами 7 и 8, а также соединим между собой: 12, 25, 53, 34, 46, 61, 56, 78. Теперь каждый из здоровых компьютеров соединён с тремя другими здоровыми и двумя заражёнными, каждый 8 из заражённых компьютеров 1–6 соединён с двумя здоровыми и тремя другими заражёнными, а заражённые компьютеры 7 и 8 соединены с пятью другими заражёнными каждый.