Question

На рисунке 105 a параллельна b. Докажите, что
$a + \beta + \gamma = 360$

Answer 1

Рисунок во вложении

Дано:

a║b

Доказать: α + β + γ = 360°

Продолжим отрезок EG до пересечения с прямой b. Отрезок EG будет пересекать прямую b в точке F.

Рассмотрим треугольник FGH

γ = ∠F + ∠FGH (Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним)

∠FGH = 180° - β т.к. ∠FGH и β являются смежными

∠F = 180° - α как односторонние углы при a║b и секущей FE

$\displaystyle \gamma = \underbrace{180^\circ - \alpha}_{\angle F} + \underbrace{180^\circ - \beta}_{\angle{FGH}} \\ \\ \gamma = 360^\circ - \alpha - \beta \\ \\ \alpha + \beta + \gamma = 360^\circ$

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Дано :

a ║ b.

Доказать :

∠α + ∠β + ∠γ = 360°.

Доказательство :

Продлим прямые и обозначим вершины как показано на рисунке во вложении.

• При пересечении двух параллельных прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°.

Отсюда -

∠α + ∠ВКС = 180°

∠ВКС = 180° - ∠α.

• Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Следовательно -

∠ОКС + ∠ОСК = ∠β

180° - ∠α + ∠ОСК = ∠β

Но -

∠γ + ∠ОСК = 180° (так как смежные)

∠ОСК = 180° - ∠γ.

Можем подставить в формулу -

180° - ∠α + ∠ОСК = ∠β

180° - ∠α + 180° - ∠γ = ∠β

360° - ∠α - ∠γ = ∠β.

Подставим это значении в формулу, которую нам нужно доказать, и посмотрим, что выйдет -

∠α + ∠β + ∠γ = 360°

∠α + 360° - ∠α - ∠γ + ∠γ = 360°

360° = 360°.

Получили верное равенство. Следовательно, формула, которую нужно доказать, верна.

Ответ :

Что требовалось доказать.