Question

Нужен ответ с решением и объяснением. Буду очень благодарен)

Answer 1

$\lim_{x \to 0} \dfrac{2}{3x+2} = \lim_{x \to 0} \dfrac{2}{2} = 1$
Просто подставляем $x = 0$.

$\lim_{x \to 0} \dfrac{2x^3 + 3x^2}{2x^3} = \lim_{x \to 0} 1 + \dfrac{3x^2}{2x^3} = 1 + \lim_{x \to 0} \dfrac{3}{2x} = 1+ \infty = \infty$
Число поделить на нуль - это бесконечность.

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{x+1}{x} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{x} = 1$
Константой можно пренебречь по сравнению с бесконечностью.

$\lim_{x \to 0} x \cdot \text{ctg}x = \lim_{x \to 0} x \cdot \dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} = \lim_{x \to 0} \cos{x} = 1$
В этом пределе использован первый замечательный предел:
$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin{x}}{x} = 1$

$\lim_{x \to \infty} \sqrt{4x^2 + 1} - 2 x =\lim_{x \to \infty} \sqrt{4x^2 } - 2 x =\lim_{x \to \infty} 2x - 2 x = 0$
Опять пренебрегаем константой по сравнению с членом, стремящимся к бесконечности.