Question

почему What do you want to do? правильно, а What do you want do? Что в данном случае дает do

Answer 1

Do это вспомогательный глагол present simple и по этому когда ты задаёшь вопрос ты обязательно должна его ставит и при ответе (когда отвечаешь да или нет) тоже должна поставить
He she it - does
You,they,we,I-do

Answer 2

What do you want to do?
первый do-вспомогательный глагол для вопросительных предложений в настоящем неопределенном времени
второй do-смысловой глагол

What do you want do? неверно составлен вопрос ,так как после глагола want глагол употребляется с частицей to

Let is to do that.-неверно
let us do it-в конструкции let's глагол употребляется без частицы to