Question

Найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям.

Answer 1

6.9. $y''+y=x^3-4x^2+7-10$

Ищем общее решение Y однородного уравнения:
$y''+y =0$
Характеристическое уравнение:
$\lambda^2+1 = 0 \\ \lambda^2 = -1 \\ \lambda = \pm i$

Имеем два сопряжённых комплексных корня характеристического уравнения:
$\lambda_1 = \alpha - \beta x = 0 - 1*i = -i \\ \lambda_2 = \alpha + \beta x = 0 + 1*i = +i$
следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид:
$Y = e^{ \alpha x}( C_1 cos \beta x + C_2 sin \beta x)$

Подставляем наши значения:
$Y = e^{ 0* x}( C_1 cos (1*x) + C_2 sin (1*x)) = C_1 cos x + C_2 sin x$

Т.к. правая часть содержит степенную функцию, то частное решение ищем в виде:
$y = Ax^3+Bx^2+Cx+D \\ \\ y' = 3Ax^2+2Bx+C \\ \\ y'' = 6Ax + 2B$

Используем метод неизвестных коэффициентов, чтобы найти наши A, B, C, D, для чего предполагаемую функцию и её вторую производную подставляем в исходное уравнение:
$6Ax + 2B + Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = x^3-4x^2+7-10 \\ \\ Ax^3 +Bx^2 + (6A+C)x + (2B+D) = x^3-4x^2+7-10 \\ \\ \\ A = 1 \\ B= -4 \\ 6A+C = 7; C=7-6*1= 1 \\ 2B+D = -10; D = -10 -2*(-4) = -2$

Итак, частное решение такое:
$y = x^3-4x+x-2$

Суммируем общее и частное решения Y + y:
$y = C_1 cos x + C_2 sin x + x^3-4x^2+x-2$

Находим частное решение по начальным условиям:
y(0) = 2;  y'(0) = 3

Находим производную:
$y' = (C_1 cos x + C_2 sin x + x^3-4x^2+x-2)' = \\ \\ =-C_1 sinx + C_2 cosx +3x^2 -8x +1$

Подставляем начальные значения в у и у'
$y(0) = C_1 cos 0 + C_2 sin 0 + 0^3-4*0^2+0-2 = C_1 - 2 =2; C_1= 4 \\ \\ y'(0) = -C_1 sin0 + C_2 cos0 +3*0^2 -8*0 +1 =C_2 +1 =3; C_2= 2$

Благодаря начальным условиям нашли неизвестные коэффициенты $C_1, C_2$, а требуемое решение выглядит так:

$y = 4 cos x + 2sin x + x^3-4x^2+x-2$