Question

Катет AC прямоугольного треугольника ABC (C = 90±
) разбит точками D и E на три равные части. Площадь треугольника BDE равна 3. Точка F – середина катета BC. Найдите площадь треугольника ABF

Answer 1

Треугольник АВС, уголС=90 Площадь ВДЕ=3
Медиана делит треугольник на равновеликие треугольники. Треугольник АВЕ, где ВД-медиана (АД=ДЕ), площадьВДЕ=площадьАВД=3, треугольникВДС, где ВЕ-медиана, площадьВДЕ=площадьВЕС=3, Площадь АВС=3+3+3=9
АФ-медиана треугольника АВС, площадьАФС=площадьАВФ =9/2=4,5

Answer 2

Можно так, по условию AD=DE=EC=x , и CF=FB=y
выразим площадь BED через синус и стороны BD и  ЕВ
По теореме  Пифагора 
$EB=sqrt{x^2+4y^2}\ DB=sqrt{4x^2+4y^2}$
синус угла между ними по теореме косинусов, затем переведем на синус получим 
$sinBDE=sqrt{(1-(frac{(x^2-5x^2-8y^2)}{-4sqrt{((x^2+y^2)(x^2+4y^2)}})^2}=\ S_{BED}=sqrt{(x^2+y^2)*(x^2+4y^2)}*sqrt{(1-(frac{(x^2-5x^2-8y^2)}{-4sqrt{((x^2+y^2)(x^2+4y^2)}})^2}=xy\ xy=3$
то есть после упрощения получили такое соотношение , по свойству медиана  делить треугольник на два равновеликих треугольника 
$S_{AFC}=S_{ABF}\ S_{AFC}=frac{3x*frac{3}{x}}{2}=4.5\ S_{ABF}=4.5$