Question

Найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям.

Answer 1

6.9. $y''+y=x^3-4x^2+7-10$

Ищем общее решение Y однородного уравнения:
$y''+y =0$
Характеристическое уравнение:
$lambda^2+1 = 0 \ lambda^2 = -1 \ lambda = pm i$

Имеем два сопряжённых комплексных корня характеристического уравнения:
$lambda_1 = alpha - beta x = 0 - 1*i = -i \ lambda_2 = alpha + beta x = 0 + 1*i = +i$
тогда общее решение однородного уравнения имеет вид:
$Y = e^{ alpha x}( C_1 cos beta x + C_2 sin beta x)$

Подставляем наши значения:
$Y = e^{ 0* x}( C_1 cos (1*x) + C_2 sin (1*x)) = C_1 cos x + C_2 sin x$

Т.к. правая часть содержит степенную функцию, то частное решение ищем в виде:
$y = Ax^3+Bx^2+Cx+D \ \ y' = 3Ax^2+2Bx+C \ \ y'' = 6Ax + 2B$

Используем метод неизвестных коэффициентов, чтобы найти наши A, B, C, D, для чего предполагаемую функцию и её вторую производную подставляем в исходное уравнение:
$6Ax + 2B + Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = x^3-4x^2+7-10 \ \ Ax^3 +Bx^2 + (6A+C)x + (2B+D) = x^3-4x^2+7-10 \ \ \ A = 1 \ B= -4 \ 6A+C = 7; C=7-6*1= 1 \ 2B+D = -10; D = -10 -2*(-4) = -2$

Итак, частное решение такое:
$y = x^3-4x+x-2$

Суммируем общее и частное решения Y + y:
$y = C_1 cos x + C_2 sin x + x^3-4x^2+x-2$

Находим частное решение по начальным условиям:
y(0) = 2;  y'(0) = 3

Находим производную:
$y' = (C_1 cos x + C_2 sin x + x^3-4x^2+x-2)' = \ \ =-C_1 sinx + C_2 cosx +3x^2 -8x +1$

Подставляем начальные значения в у и у'
$y(0) = C_1 cos 0 + C_2 sin 0 + 0^3-4*0^2+0-2 = C_1 - 2 =2; C_1= 4 \ \ y'(0) = -C_1 sin0 + C_2 cos0 +3*0^2 -8*0 +1 =C_2 +1 =3; C_2= 2$

Итак, требуемое решение выглядит так:

$y = 4 cos x + 2sin x + x^3-4x^2+x-2$

Answer 2

Ответ такой

Answer 3

Да, всё верно. Если откроют для изменения, то перепишу.

Answer 4

https://znanija.com/task/27738004

Answer 5

Всё. Смотрите и там и тут.