Question

Простейшие логарифмические уравнения. Решите пожалуйста

Answer 1

$1)\; \; log_2x+log_3x=1\; \; ,\; \; \; ODZ:\; x\ \textgreater \ 0\; .\\\\log_2x+ \frac{log_2x}{log_23} =1\\\\ \frac{log_23\cdot log_2x+log_2x}{log_23} =1\\\\log_2x\cdot (log_23+1)=log_23\\\\log_2x= \frac{log_23}{log_23+1}\\\\log_2x= \frac{log_23}{log_23+log_22}\\\\log_2x= \frac{log_23}{log_26} \\\\log_2x=log_63\\\\x=2^{log_63}\\\\Otvet:\; \; x=2^{log_63}\; .$

$2)\; \; lg(0,5+x)=lg0,5-lgx\; \; ,\; \; ODZ:\; \; \left \{ {{0,5+x\ \textgreater \ 0} \atop {x\ \textgreater \ 0}} \right. \; ,\; \; x\ \textgreater \ 0\; .\\\\lg(0,5+x)+lgx=lg0,5\\\\lg(0,5x+x^2)=lg0,5\\\\0,5x+x^2=0,5\, |\cdot 2\\\\2x^2+x-1=0\; \; ,\; \; D=9\; ,\\\\ x_1=-1\ \textless \ 0\; ,\; \; x_2= \frac{1}{2}\ \textgreater \ 0 \\\\Otvet:\; \; x= \frac{1}{2} \; .$

$3)\; \; log_3x+log_{x}9=3\; \; ,\; \; ODZ:\; x\ \textgreater \ 0\; x\ne 1\; .\\\\log_3x+ \frac{log_39}{log_3x} =3\; ,\; \; \frac{log_3^2x+log_33^2-3\cdot log_3x}{log_3x}=0\; \; \; \; (log_33^2=2)\\\\log_3^2x-3\cdot log_3x+2=0\\\\log_3x=1\; \; ,\; \; log_3x=2\; \; \; (teorema\; Vieta)\\\\x=3\; \; ,\; \; \; x=3^2=9\\\\Otvet:\; \; x=3\; ,\; \; x=9\; .$