Question

снова нужно проверить правильно ли решил . заранее спасибо!!!

Answer 1

$1)\; \; \int \sqrt{cosx} \cdot \underbrace {sinx\, dx}_{-d(cosx)}=\Big [\, t=cosx,\; dt=-sinx\, dx\, \Big ]=\\\\=-\int \sqrt{t}\, dt =-\frac{t^{\frac{3}{2}}}{ \frac{3}{2}}+C=-\frac{2 \sqrt{cos^3x} }{3}+C$

$2)\; \; \int 6x^2\cdot arctg2x\, dx=\Big [\, u=arctg2x,\; du=\frac{2dx}{1+4x^2},\; dv=6x^2\, dx,\\\\v=\int dv=6\cdot \frac{x^3}{3}=2x^3\; \Big ]=uv-\int v\, du=\\\\=2x^3\cdot arctg2x-\int \frac{4x^3\, dx}{1+4x^2} =2x^3\cdot arctg2x-\int (x-\frac{x}{4x^2+1})dx=\\\\=2x^3\cdot arctg2x-\int x\, dx+\frac{1}{8}\cdot \int \frac{8x\, dx}{4x^2+1} =\Big [\, t=4x^2+1,\; dt=8x\, dx\, ]=\\\\=2x^3\cdot arctg2x- \frac{x^2}{2}+\frac{1}{8}\cdot \int \frac{dt}{t}=2x^3\cdot arctg2x-\frac{x^2}{2}+\frac{1}{8}\cdot ln|t|+C=$

$=2x^3\cdot arctg2x- \frac{x^2}{2}+ \frac{1}{8}\cdot ln|4x^2+1|+C$