Question

Математика 11 класс, помогите пожалуйста! Спасибо!

Answer 1

Дано неравенство:
$1+ frac{7}{log_6x-3}+ frac{10}{log_6^2-log_6(216x^6)+12} geq 0.$
Определяем ОДЗ:
 - по свойству логарифмов х > 0,
 - (log_6(x) - 3) ≠ 0,   x ≠ 6³ ≠ 216.

Произведём замену: $log_6x=y.$
Упростим знаменатель второй дроби.
Заменим логарифм произведения на сумму логарифмов.
216 = 6³.
log_6(216x^6) = log_6(6³) + 6log_6(x) = 3 + 6y.
Тогда знаменатель второй дроби примет вид:
 у²- (3 + 6у) + 12 = = у² - 6у + 9  или это (у - 3)².
Исходное выражение теперь равно:
$1+ frac{7}{y-3} + frac{10}{(y-3)^2} geq 0.$
Если привести к общему знаменателю и сделать замену у-3 = z, то приравняв числитель полученного выражения нулю, получаем квадратное уравнение:
z^2 + 7z + 10 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно z: Ищем дискриминант:D=7^2-4*1*10=49-4*10=49-40=9;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:z_1=(√9-7)/(2*1)=(3-7)/2=-4/2=-2;z_2=(-√9-7)/(2*1)=(-3-7)/2=-10/2=-5.
Обратная замена: y = z +3 = -2 + 3 = 1,
                               y = -5 + 3 = -2.
Ещё одна замена: х = 6^y. x₁ = 6¹ =6.
                                             x^(-2) = 1/36.

Так как переменная в знаменателе, то меняем знак неравенства, кроме того, учитываем х ≠ 216.
Область решений заданного неравенства разбивается на 3 промежутка:
0 < x ≤ (1/36), 6 ≤ x < 216, x > 216.