Question

А)Решите уравнение cos2x-cosx=0
Б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [0; 5П/2]

Answer 1

$cos2x-cosx=0$,   $[0; frac{5 pi }{2} ]$

$cos2x-cosx=0$

$2cos^2x-1-cosx=0$

$2cos^2x-cosx-1=0$

Замена:  $cosx=t,$  $| t| leq 1$

$2t^2-t-1=0$

$D=(-1)^2-4*2*(-1)=9$

$t_1= frac{1+3}{4} =1$

$t_2= frac{1-3}{4} =- frac{1}{2}$

$cosx=1$                         или     $cosx=- frac{1}{2}$

$x=2 pi n,$ $n$ ∈ $Z$               или     $x=бarccos(- frac{1}{2} )+2 pi k,$ $k$ ∈ $Z$

                                                               $x=б( pi -arccos frac{1}{2} )+2 pi k,$ $k$ ∈ $Z$

                                                               $x=б frac{2 pi }{3}+2 pi k,$ $k$ ∈ $Z$


$1)$

$x=2 pi n,$ $n$ ∈ $Z$

$n=0,$     $x=0$

$n=1,$     $x=2 pi$

$n=2,$     $x=4 pi$ ∉ $[0; frac{5 pi }{2} ]$

$2)$

$x=б frac{2 pi }{3}+2 pi k,$ $k$ ∈ $Z$

а) $x= frac{2 pi }{3}+2 pi k$

$k=0,$     $x= frac{2 pi }{3}$

$k=1,$     $x= frac{2 pi }{3} +2 pi = frac{8 pi }{3}$ ∉  $[0; frac{5 pi }{2} ]$

б) $x= frac{2 pi }{3}+2 pi k$

$k=0,$     $x=- frac{2 pi }{3}$ ∉  $[0; frac{5 pi }{2} ]$

$k=1,$     $x=- frac{2 pi }{3} +2 pi = frac{4 pi }{3}$

$k=2,$     $x=- frac{2 pi }{3} +4 pi = frac{10 pi }{3}$ ∉  $[0; frac{5 pi }{2} ]$