Question

Нужно сократить дробь

Answer 1

Для начала скажем, что a, b ≥ 0 (запись $a^{ frac{1}{3} }$ и аналогичная для b означает, что степень, т.е. числа a и b, не могут быть отрицательными по определению степенной функции), поэтому можем заменять $sqrt[3]{a}$ на $a^{ frac{1}{3} }$ (иначе нельзя было бы, т.к. для $sqrt[3]{a}$ отрицательные a допустимы, но $x^{ frac{1}{3} }$ уже дало ограничение на переменные, почему данный переход будет равносильным). Т.к. и а, и б неотрицательны, ограничения на знаменатель первой дроби нет. 
1. Начнем с упрощения $frac{a + b}{ a^{ frac{1}{3} } + b^{ frac{1}{3} } }$
Заметим один из элементов формулы сокращенного умножения внизу и домножим на сопряженное. 
$frac{(a + b) * ( a^{ frac{2}{3} } - a^{ frac{1}{3}} * b^{ frac{1}{3}} + b^{ frac{2}{3}})}{(a + b)}$
Сократим дробь на (a + b). Останется 
$( a^{ frac{2}{3} } - a^{ frac{1}{3}} * b^{ frac{1}{3}} + b^{ frac{2}{3}})$
2. Закончим с упрощением числителя: 
$a^{ frac{2}{3} } - a^{ frac{1}{3}} * b^{ frac{1}{3}} + b^{ frac{2}{3}} - a^{ frac{1}{3}} * b^{ frac{1}{3}} = a^{ frac{2}{3} } - 2a^{ frac{1}{3}} * b^{ frac{1}{3}} + b^{ frac{2}{3}}$
Заметим здесь полный квадрат. Это выражение равносильно 
$(a^{ frac{1}{3} } - b^{ frac{1}{3} } )^2$
3. a не должно быть равно b, чтобы знаменатель не был равен нулю. Продолжим упрощение: 
$frac{(a^{ frac{1}{3} } - b^{ frac{1}{3} } )^2}{(b^{ frac{1}{3} } - a^{ frac{1}{3} } )}$
В знаменателе вынесем минус за скобку и разделим числитель на знаменатель: 
$frac{(a^{ frac{1}{3} } - b^{ frac{1}{3} } )^2}{-(a^{ frac{1}{3} } - b^{ frac{1}{3} } )} = {(b^{ frac{1}{3} } - a^{ frac{1}{3} } )}$
Ответ:  $b^{ frac{1}{3} } - a^{ frac{1}{3} }$ при a, b ≥ 0, a ≠ b.