Question

Решите уравнение из десятого классса

Answer 1

Упростим первое слагаемое:
$2* ( frac{2}{3} )^{x-1} =2* ( frac{2}{3} )^{x} * ( frac{2}{3} )^{-1} =2* ( frac{3}{2}) ^{1} * ( frac{2}{3} )^{x} = frac{2*3}{2} * ( frac{2}{3} )^{x}=3* ( frac{2}{3} )^{x}$ 
Теперь уравнение имеет вид:
$3* ( frac{2}{3} )^{x} -4* ( frac{3}{2}) ^{x} +1=0$
Приведём степени к одинаковому основанию:
$3* ( frac{2}{3} )^{x} -4* ( frac{2}{3} )^{-x} +1=0$ 
Сделаем замену:
$( frac{2}{3} )^{x}=t$
$( frac{2}{3}) ^{-x} = frac{1}{t}$
Теперь уравнение имеет вид:
$3t- frac{4}{t} +1=0$ 
ОДЗ:  t > 0 
упростим
$3 t^{2}+t-4=0$
D = b² - 4ac
D = 1-4·3·(-4) = 1+48=49
√D = √49 = 7
t₁ = (-1+7)/6 =6/6 = 1
t₂ = (-1-7)/6 = -8/6 = -4/3  < 0 - посторонний корень.

Выполняем обратную замену: 
$( frac{2}{3} )^{x} =1$
$( frac{2}{3} )^{x} = ( frac{2}{3} )^{0}$
$x=0$
Равные степени с равными основаниями имеют равные показатели степеней.
Ответ: х=0