Question

решите неравенства с логарифмами

Answer 1

#1
Нахождение ОДЗ:
$frac{x}{2} textgreater 0;x textgreater 0$
$frac{x}{2} neq 1;x neq 2$

$x^2-2x+1 textgreater 0$
$(x-1)^2 textgreater 0; left { {{x textless 1} atop {x textgreater 1}} right.$

ОДЗ - (0;1)∪(1;2)∪(2;+∞)

Основание логарифма может принадлежать к двум промежуткам - (0;1) или (1;+∞). Найдем решение в каждом из случаев.

1) 
$0 textless frac{x}{2} textless 1$
$0 textless x textless 2$

$log_{ frac{x}{2} }(x-1)^2 geq log_{frac{x}{2} } (frac{x}{2} })^2$
$(x-1)^2 leq (frac{x}{2} })^2$
$x^2-2x+1 leq frac{x^2}{4} }$
$4x^2-8x+4 leq x^2$
$3x^2-8x+4 leq 0$
$(x-2)(3x-2) leq 0$
$frac{2}{3} leq x leq 2$

Пересечение ОДЗ и решения дает нам интервал [2/3;1)∪(1;2)

2)
$frac{x}{2} textgreater 1; x textgreater 2$

$log_{ frac{x}{2} }(x-1)^2 geq log_{frac{x}{2} } (frac{x}{2} })^2$
$(x-1)^2 geq (frac{x}{2} })^2$
$x^2-2x+1 geq frac{x^2}{4} }$
$4x^2-8x+4 geq x^2$
$3x^2-8x+4 geq 0$
$(x-2)(3x-2) geq 0$
$left { {{x leq frac{2}{3} } atop {x geq 2}} right.$

Пересечение ОДЗ и решения дает нам (2;+∞)

Объединение решений случаев 1 и 2 дает общее решение неравенства - [2/3;1)∪(1;2)∪(2;+∞)


#2
Нахождение ОДЗ:
$25-x^2 textgreater 0$
$(x-5)(x+5) textgreater 0$
$-5 textless x textless 5$
ОДЗ - (-5;5)

$log_2^2 (25-x^2)-7log_2 (25-x^2)+12 geq 0$
$log_2 (25-x^2)=a$
$a^2-7a+12 geq 0$
$(a-4)(a-3) geq 0$
$left { {{a leq 3} atop {a geq 4}} right.$

$log_2 (25-x^2) leq 3$
$log_2 (25-x^2) leq log_2 8$
$25-x^2 leq 8$
$x^2 geq 17$
$left { {{x leq - sqrt{17} } atop {x geq sqrt{17} }} right.$
(-∞;-√17]∪[√17;+∞)

$log_2 (25-x^2) geq 4$
$log_2 (25-x^2) geq log_2 16$
$25-x^2 geq 16$
$x^2 leq 9$
$-3 leq x leq 3$
[-3;3]

Объединение решений учетом ОДЗ (-5;5) - (-5;-√17]∪[-3;3]∪[√17;5)